عام آدمی کی شرائط میں ، "مڑے ہوئے" اسپیس ٹائم اور باقاعدگی سے گھماؤ کے مابین کیا فرق ہے؟


جواب 1:

اسپیس ٹائم ایک ویکٹر فیلڈ ہے جس میں اسپیس اور ٹائم شامل ہیں جو تکمیلی ہیں۔ اس کا کیا مطلب ہے؟

اسپیس ٹائم فیلڈ بڑے پیمانے پر (یا توانائی) کے ذریعہ اس کے ماخذ کے طور پر متاثر ہوتا ہے اور ، جیسے تمام شعبوں میں اس کی شدت کا میلان ہوتا ہے۔ جب ہم اس شدت کے تدریج کے خلائ اور وقت کے اجزاء کو دیکھیں گے تو ہمیں معلوم ہوگا کہ ہمارا خلائی تجربہ (کسی حد تک) بدل جائے گا جب کہ ہمارے وقت کا تجربہ بھی (کسی حد تک) بدل جائے گا۔ تاہم ، اسپیس ٹائم کی حیثیت سے یہ شدت کا میلان مطلق ہوگا (یعنی ہر ایک کے لئے یکساں ہے) - کیونکہ جگہ اور وقت تکمیلی ہیں۔

لہذا یہ تجویز کرنا مناسب ہے کہ بڑے بڑے لوگوں کے مابین اسپیس ٹائم فیلڈ لائنیں سیدھی ہوسکتی ہیں۔ یہ جگہ اور وقت کے اجزاء ہیں جن میں گھماؤ ہوتا ہے۔ شاید اگر آپ ایک دوسرے کے اوپر 3 شفاف گراف دیکھ سکتے ہیں تو پھر یہ زیر بحث 'گھماؤ' کی بہتر نمائندگی ہوسکتی ہے۔


جواب 2:

"باقاعدگی سے گھماؤ" خارجی ہے… یہ کسی جہت میں گھماؤ ہے جو مڑے ہوئے شے میں موجود نہیں ہے۔

خلائی وقت کا منحنی خطوط “اندرونی” ہے… اس میں مڑے ہوئے کسی اور جہت کی ضرورت نہیں ہے ، اور اس کے کام کرنے کے ل you آپ کو کسی کی ضرورت نہیں ہے۔

اگر آپ 2 ڈی دنیا کا تصور کرتے ہیں… دنیا کے باشندے سطح کے ظاہری منحنی خطوط کا پتہ لگانے سے قاصر ہوں گے… اصل سطح کو سلنڈر میں لایا جاسکتا ہے (مثال کے طور پر) اور یہ پھر بھی ان دو جہتوں تک محدود مخلوق کو فلیٹ لگے گا۔ وہ لیس سے جگہ جگہ جیومیٹری کے قواعد میں تبدیلی کا مشاہدہ کرکے ، داخلی گھماؤ کا پتہ لگاسکتے ہیں… وہ دیکھیں گے کہ یہ مڑے ہوئے ہے ، اگر یہ کہا جائے کہ ، کسی مثلث کے اندرونی زاویوں کا مجموعہ 180 ڈگری تک شامل نہیں ہوتا ہے۔

یہ ممکن ہے کہ دونوں ہی اندرونی اور خارجی گھماؤ ہوں… یعنی 3D دائرہ کی 2D سطح۔

جہاں تک عام آدمی کی شرائط غلط فہمیوں کو متعارف کرائے بغیر لے جائیں گی۔

دیکھیں:

HTTP: //web.cs.iastate.edu/~cs577 ...

گھماؤ - ولف्राम میتھورلڈ سے


جواب 3:

"مڑے ہوئے" کی تعریف عام نسبت کا خلائی وقت

عام رشتہ داری کا "مڑے ہوئے" خلائی وقت اتنا مڑے ہوئے نہیں جتنا مسخ ہوتا ہے۔ مسخ یہ ہے کہ فاصلے کی وضاحت مختلف انداز میں ہوتی ہے ، اس انداز میں جو جگہ جگہ جگہ مختلف ہوتی ہے۔

ForexamplePythagorasstheoremisreplacedbyamorecomplicatedtheorem.InthreedimensionalEuclideanspace(thesortofspaceweareaccustomedto),Pythagorasstheoremstatesthat,iftwopointsareseparated,asalongthreeaxesatrightanglestoeachother,bydistancesx,[math]y[/math],and[math]z[/math],thenthetotalseparation,[math]d[/math],isgivenbyFor example Pythagoras’s theorem is replaced by a more complicated theorem. In three-dimensional Euclidean space (the sort of space we are accustomed to), Pythagoras’s theorem states that, if two points are separated, as along three axes at right angles to each other, by distances x, [math]y[/math], and [math]z[/math], then the total separation, [math]d[/math], is given by

d2=x2+y2+z2.d^2=x^2+y^2+z^2.

Ingeneralrelativity,itbecomesmorecomplicated,becauseeachofthetermsx2andsooncanbemultipliedbyacoefficientthatingeneraldiffersfrom[math]1[/math],andthatvariesfromplacetoplace.Also,othertermsoccurontherighthandside,involving[math]x y[/math],[math]y z[/math],andalltheothercombinations,eachmultipliedbyacoefficientthatingeneraldiffersfrom[math]0[/math].Forconvenience,thewholesetofthosecoefficientsiswrappedupinasinglesetofnumberscalledthemetrictensor.In general relativity, it becomes more complicated, because each of the terms x^2 and so on can be multiplied by a coefficient that in general differs from [math]1[/math], and that varies from place to place. Also, other terms occur on the right-hand side, involving [math]x~y[/math], [math]y~z[/math], and all the other combinations, each multiplied by a coefficient that in general differs from [math]0[/math]. For convenience, the whole set of those coefficients is wrapped up in a single set of numbers called the “metric tensor”.

اس کا اثر اس طرح ہے جیسے کسی نے باقاعدہ گراف کاغذ کے ٹکڑے کو گھیر لیا ، جیسے۔

گراف کاغذ کے ایک اور ٹکڑے کے ساتھ ،

میٹرک ٹینسر مندرجہ بالا جیسی خلفشار کو ظاہر کرنے کا ایک آسان طریقہ ثابت کرتا ہے۔ خاص طور پر ، اس طرح کے کسی بھی مسخ کی مکمل تفصیل فراہم کرنے کے قابل ہے۔ اسی وجہ سے ، میں اس کے بعد عام طور پر رشتہ کے مسخ شدہ جگہ کے حوالہ کرنے کے لئے "میٹرک ٹینسر" کی اصطلاح استعمال کرتا ہوں ، کیوں کہ یہ باقاعدگی سے گھماؤ سے الگ ہے۔

عام طور پر رشتہ داری میں میٹرک ٹینسر کا استعمال عام رشتہ داری کے دعوے میں ہے کہ کشش ثقل کے شعبے میں ایک آزمائشی ادارہ ، جس پر کوئی دوسری قوتیں کام نہیں کرتی ہیں ، اپنے راستے پر کسی بھی دو نکات کے مابین خلا کے وقت میں سب سے مختصر راستے پر چلتی ہیں۔ مختصر ترین راستے پر چلنے کا دعویٰ منطقی طور پر اس بیان کے مترادف ہے (کافی مقدار میں کیلکولس کے ساتھ) کہ ایک جگہ خلائی وقت میں اسی سمت آگے بڑھتا رہتا ہے ، جس کی تعریف میٹرک ٹینسر کے ذریعہ ہوتی ہے۔ راستے میں ہر نقطہ.

اس طرح کشش ثقل کی طاقت کے طور پر تعریف نہیں کی جاتی ہے۔ نیوٹن کے پہلے حرکت کے قانون کے مطابق ، ایک جسم جس میں اس پر عمل کرنے کی طاقت نہیں ہوتی ہے وہ خلا کے وقت میں سیدھی لائن کے ساتھ آگے بڑھ جاتا ہے۔ (اس نے اس طرح یہ نہیں کہا ، لیکن اس بیان کا مطلب ایک ہی چیز ہے۔) سیدھی لکیر یہ ہے کہ ایک غیر واضح جگہ کے وقت میں کسی بھی دو نکات کے درمیان مختصر ترین راستہ ہے۔ عام رشتہ داری "مختصر ترین راستہ" کے تصور کو عام کرتا ہے ، تاکہ وہی مڑے ہوئے راستوں کے لئے بھی سچ ہو جو کشش ثقل کے شعبوں میں جسمیں چلتی ہیں۔

باقاعدگی سے گھماؤ سے متعلق

بہت سارے طریقے ہیں جن میں "میٹرک ٹینسر" کا تصور گھماؤ کے تصور سے متعلق ہوسکتا ہے۔

  1. Generalrelativitymaybesaidtoassert(a)thatabodythatkeepsmovingstraightaheadmovesalongacurvedpathor,equivalently,(b)thattheshortestpathbetweentwopointsisingeneralacurvedline.Inthegraphsabove,inthecentralregion,apathcoversmoredistance,asdefinedpertheundistortedgraphpaper,whenitmovesthroughthecentralregion,asisshownbythecoordinatelinesinthecentralregionofthedistortedgraphpaper.Thus,ashortestpath,asdefinedbythedistortedgraphpaper,willtendtodeviatefromastraightlinetopassthroughthecentralarea.Inparticular,acirclecenteredinthegraphpaperistheshortestpathbetweenanytwopointsalongit,asdistanceisdefinedbythedistortedgraphpaper.Thus,thedistortedgraphpaperissomewhatanalogoustothegravitationalfieldaroundamassivebody.Ingeneral,knowingthemetrictensorinanndimensionalspace,itispossibletoconstructashapein[math]n+1[/math]dimensionalspace,suchthatthe[math]n[/math]dimensionalspaceisthesurfaceofthethusconstructedshapein[math]n+1[/math]dimensionalspace.Forexample,knowingthetwodimensionalmetrictensoreverywhereonthesurfaceofadonut,onecouldmathematicallyreconstructthethreedimensionalshapeofthedonut.TheequivalenthappensallthetimeonthesurfaceofoursphericalEarth.AtriangleonEarthssurfacehasinterioranglesthatadduptomorethan180°,andsimilardeviationsfromEuclideangeometryoccur.Idontknowwhetherlandsurveyorsusetheactualmathematicsofthemetrictensorintheircalculations,buteverytimetheysurveyalargepieceofland,theyderivethecurvatureofEarthssurfaceasasideeffectoftheircalculations.Generalrelativitydoesnotingeneralusetheconceptofacurved,higherdimensionalshape,otherthanwhenderivinggeneralsummariestostatethate.g.acertainmodelyieldsanopenorcloseduniverse.General relativity may be said to assert (a) that a body that keeps moving straight ahead moves along a curved path or, equivalently, (b) that the shortest path between two points is in general a curved line. In the graphs above, in the central region, a path covers more distance, as defined per the undistorted graph paper, when it moves through the central region, as is shown by the coordinate lines in the central region of the distorted graph paper. Thus, a “shortest path”, as defined by the distorted graph paper, will tend to deviate from a straight line to pass through the central area.In particular, a circle centered in the graph paper is the shortest path between any two points along it, as distance is defined by the distorted graph paper. Thus, the distorted graph paper is somewhat analogous to the gravitational field around a massive body.In general, knowing the metric tensor in an n-dimensional space, it is possible to construct a shape in [math]n+1[/math]-dimensional space, such that the [math]n[/math]-dimensional space is the surface of the thus-constructed shape in [math]n+1[/math]-dimensional space. For example, knowing the two-dimensional metric tensor everywhere on the surface of a donut, one could mathematically reconstruct the three-dimensional shape of the donut.The equivalent happens all the time on the surface of our spherical Earth. A triangle on Earth’s surface has interior angles that add up to more than 180°, and similar deviations from Euclidean geometry occur. I don’t know whether land surveyors use the actual mathematics of the metric tensor in their calculations, but every time they survey a large piece of land, they derive the curvature of Earth’s surface as a side effect of their calculations.General relativity does not in general use the concept of a curved, higher-dimensional shape, other than when deriving general summaries to state that e.g. a certain model yields an “open” or “closed” universe.

جواب 4:

"مڑے ہوئے" کی تعریف عام نسبت کا خلائی وقت

عام رشتہ داری کا "مڑے ہوئے" خلائی وقت اتنا مڑے ہوئے نہیں جتنا مسخ ہوتا ہے۔ مسخ یہ ہے کہ فاصلے کی وضاحت مختلف انداز میں ہوتی ہے ، اس انداز میں جو جگہ جگہ جگہ مختلف ہوتی ہے۔

ForexamplePythagorasstheoremisreplacedbyamorecomplicatedtheorem.InthreedimensionalEuclideanspace(thesortofspaceweareaccustomedto),Pythagorasstheoremstatesthat,iftwopointsareseparated,asalongthreeaxesatrightanglestoeachother,bydistancesx,[math]y[/math],and[math]z[/math],thenthetotalseparation,[math]d[/math],isgivenbyFor example Pythagoras’s theorem is replaced by a more complicated theorem. In three-dimensional Euclidean space (the sort of space we are accustomed to), Pythagoras’s theorem states that, if two points are separated, as along three axes at right angles to each other, by distances x, [math]y[/math], and [math]z[/math], then the total separation, [math]d[/math], is given by

d2=x2+y2+z2.d^2=x^2+y^2+z^2.

Ingeneralrelativity,itbecomesmorecomplicated,becauseeachofthetermsx2andsooncanbemultipliedbyacoefficientthatingeneraldiffersfrom[math]1[/math],andthatvariesfromplacetoplace.Also,othertermsoccurontherighthandside,involving[math]x y[/math],[math]y z[/math],andalltheothercombinations,eachmultipliedbyacoefficientthatingeneraldiffersfrom[math]0[/math].Forconvenience,thewholesetofthosecoefficientsiswrappedupinasinglesetofnumberscalledthemetrictensor.In general relativity, it becomes more complicated, because each of the terms x^2 and so on can be multiplied by a coefficient that in general differs from [math]1[/math], and that varies from place to place. Also, other terms occur on the right-hand side, involving [math]x~y[/math], [math]y~z[/math], and all the other combinations, each multiplied by a coefficient that in general differs from [math]0[/math]. For convenience, the whole set of those coefficients is wrapped up in a single set of numbers called the “metric tensor”.

اس کا اثر اس طرح ہے جیسے کسی نے باقاعدہ گراف کاغذ کے ٹکڑے کو گھیر لیا ، جیسے۔

گراف کاغذ کے ایک اور ٹکڑے کے ساتھ ،

میٹرک ٹینسر مندرجہ بالا جیسی خلفشار کو ظاہر کرنے کا ایک آسان طریقہ ثابت کرتا ہے۔ خاص طور پر ، اس طرح کے کسی بھی مسخ کی مکمل تفصیل فراہم کرنے کے قابل ہے۔ اسی وجہ سے ، میں اس کے بعد عام طور پر رشتہ کے مسخ شدہ جگہ کے حوالہ کرنے کے لئے "میٹرک ٹینسر" کی اصطلاح استعمال کرتا ہوں ، کیوں کہ یہ باقاعدگی سے گھماؤ سے الگ ہے۔

عام طور پر رشتہ داری میں میٹرک ٹینسر کا استعمال عام رشتہ داری کے دعوے میں ہے کہ کشش ثقل کے شعبے میں ایک آزمائشی ادارہ ، جس پر کوئی دوسری قوتیں کام نہیں کرتی ہیں ، اپنے راستے پر کسی بھی دو نکات کے مابین خلا کے وقت میں سب سے مختصر راستے پر چلتی ہیں۔ مختصر ترین راستے پر چلنے کا دعویٰ منطقی طور پر اس بیان کے مترادف ہے (کافی مقدار میں کیلکولس کے ساتھ) کہ ایک جگہ خلائی وقت میں اسی سمت آگے بڑھتا رہتا ہے ، جس کی تعریف میٹرک ٹینسر کے ذریعہ ہوتی ہے۔ راستے میں ہر نقطہ.

اس طرح کشش ثقل کی طاقت کے طور پر تعریف نہیں کی جاتی ہے۔ نیوٹن کے پہلے حرکت کے قانون کے مطابق ، ایک جسم جس میں اس پر عمل کرنے کی طاقت نہیں ہوتی ہے وہ خلا کے وقت میں سیدھی لائن کے ساتھ آگے بڑھ جاتا ہے۔ (اس نے اس طرح یہ نہیں کہا ، لیکن اس بیان کا مطلب ایک ہی چیز ہے۔) سیدھی لکیر یہ ہے کہ ایک غیر واضح جگہ کے وقت میں کسی بھی دو نکات کے درمیان مختصر ترین راستہ ہے۔ عام رشتہ داری "مختصر ترین راستہ" کے تصور کو عام کرتا ہے ، تاکہ وہی مڑے ہوئے راستوں کے لئے بھی سچ ہو جو کشش ثقل کے شعبوں میں جسمیں چلتی ہیں۔

باقاعدگی سے گھماؤ سے متعلق

بہت سارے طریقے ہیں جن میں "میٹرک ٹینسر" کا تصور گھماؤ کے تصور سے متعلق ہوسکتا ہے۔

  1. Generalrelativitymaybesaidtoassert(a)thatabodythatkeepsmovingstraightaheadmovesalongacurvedpathor,equivalently,(b)thattheshortestpathbetweentwopointsisingeneralacurvedline.Inthegraphsabove,inthecentralregion,apathcoversmoredistance,asdefinedpertheundistortedgraphpaper,whenitmovesthroughthecentralregion,asisshownbythecoordinatelinesinthecentralregionofthedistortedgraphpaper.Thus,ashortestpath,asdefinedbythedistortedgraphpaper,willtendtodeviatefromastraightlinetopassthroughthecentralarea.Inparticular,acirclecenteredinthegraphpaperistheshortestpathbetweenanytwopointsalongit,asdistanceisdefinedbythedistortedgraphpaper.Thus,thedistortedgraphpaperissomewhatanalogoustothegravitationalfieldaroundamassivebody.Ingeneral,knowingthemetrictensorinanndimensionalspace,itispossibletoconstructashapein[math]n+1[/math]dimensionalspace,suchthatthe[math]n[/math]dimensionalspaceisthesurfaceofthethusconstructedshapein[math]n+1[/math]dimensionalspace.Forexample,knowingthetwodimensionalmetrictensoreverywhereonthesurfaceofadonut,onecouldmathematicallyreconstructthethreedimensionalshapeofthedonut.TheequivalenthappensallthetimeonthesurfaceofoursphericalEarth.AtriangleonEarthssurfacehasinterioranglesthatadduptomorethan180°,andsimilardeviationsfromEuclideangeometryoccur.Idontknowwhetherlandsurveyorsusetheactualmathematicsofthemetrictensorintheircalculations,buteverytimetheysurveyalargepieceofland,theyderivethecurvatureofEarthssurfaceasasideeffectoftheircalculations.Generalrelativitydoesnotingeneralusetheconceptofacurved,higherdimensionalshape,otherthanwhenderivinggeneralsummariestostatethate.g.acertainmodelyieldsanopenorcloseduniverse.General relativity may be said to assert (a) that a body that keeps moving straight ahead moves along a curved path or, equivalently, (b) that the shortest path between two points is in general a curved line. In the graphs above, in the central region, a path covers more distance, as defined per the undistorted graph paper, when it moves through the central region, as is shown by the coordinate lines in the central region of the distorted graph paper. Thus, a “shortest path”, as defined by the distorted graph paper, will tend to deviate from a straight line to pass through the central area.In particular, a circle centered in the graph paper is the shortest path between any two points along it, as distance is defined by the distorted graph paper. Thus, the distorted graph paper is somewhat analogous to the gravitational field around a massive body.In general, knowing the metric tensor in an n-dimensional space, it is possible to construct a shape in [math]n+1[/math]-dimensional space, such that the [math]n[/math]-dimensional space is the surface of the thus-constructed shape in [math]n+1[/math]-dimensional space. For example, knowing the two-dimensional metric tensor everywhere on the surface of a donut, one could mathematically reconstruct the three-dimensional shape of the donut.The equivalent happens all the time on the surface of our spherical Earth. A triangle on Earth’s surface has interior angles that add up to more than 180°, and similar deviations from Euclidean geometry occur. I don’t know whether land surveyors use the actual mathematics of the metric tensor in their calculations, but every time they survey a large piece of land, they derive the curvature of Earth’s surface as a side effect of their calculations.General relativity does not in general use the concept of a curved, higher-dimensional shape, other than when deriving general summaries to state that e.g. a certain model yields an “open” or “closed” universe.