بہت سی امریکی یونیورسٹیوں میں جو کیلکولس I ، Cal II ، کال III ، اور اصلی تجزیہ کی ترتیب پیش کرتی ہیں ، ان کورسز میں کیا فرق ہے؟ اکثر اوقات میں نے سنا ہے کہ کیلکولس کا مطلب اصلی تجزیہ کے مترادف ہے۔ لیکن واضح طور پر وہ الگ کورس ہیں۔


جواب 1:

یہ ایک بہت ہی آسان کورس کی وجہ سے ، بالکل مختلف کورسز ہیں۔ اصلی تجزیہ میں ، آپ چیزوں کو ثابت کرنے کا ارادہ رکھتے ہیں۔

کیلکولس I اور II میں ، آپ حدود ، مشتق ، انٹیگرلز ، ٹیلر سیریز ، اور سیریز اور انضمام کے ٹیسٹ ابسرن کی گنتی کرنے کا طریقہ سیکھیں گے — آپ جانتے ہو ، معیاری واحد متغیر کیلکولس چیزوں کو۔ کیلکولس III میں ، آپ ان نظریات کو متعدد متغیر کے ساتھ افعال میں لاگو کرنے کے بارے میں سیکھنا شروع کرتے ہیں۔ تاہم ، کسی بھی موقع پر آپ یہ سیکھ نہیں سکتے ہیں کہ ان دعوؤں کو کس طرح ثابت کرنا ہے ، شاید کسی فوری طور پر جلدی انسٹرکٹر کے ذریعہ فراہم کردہ کچھ ہاتھ سے چلنے والے دلائل کے علاوہ۔

حقیقی تجزیہ بالکل مختلف ہے۔ اس طبقے کی توجہ یہ ہے کہ ہر چیز کیوں کام کرتی ہے ، اور آپ کو اس بات کی تربیت فراہم کرنے کے لئے کہ وہ کیا کام کرتا ہے۔ اس کورس کے اختتام تک ، آپ یہ جان لیں گے کہ یہ ثابت کرنے کے لئے کہ کوئی فعل مستقل ہے ، بجائے محض یہ سمجھنے کے کہ یہ ہے۔ آپ یہ جانتے ہوں گے کہ کیسے ثابت کرنا ہے کہ بند اور پابند وقفہ پر ایک مستقل فنکشن کی حد سے زیادہ حد ہوتی ہے۔ اس بات کا بہت امکان نہیں ہے کہ آپ کلکولس تسلسل کے تمام نتائج کو ایک بار پھر دیکھیں گے ، لیکن اس سے کوئی فرق نہیں پڑے گا: آخر تک ، آپ کے پاس مطلوبہ اوزار موجود ہوں گے تاکہ اگر آپ بیٹھ کر ان نتائج کو سختی سے ثابت کرنا چاہتے ہو۔ ، آپ ایسا کرنے کے قابل ہوں گے۔

چونکہ اصلی تجزیہ کیلکولس تسلسل سے کہیں زیادہ خلاصہ ہے ، لہذا یہ آپ کو مزید آگے جانے کی اجازت دیتا ہے۔ ایک ریاضی دان کی حیثیت سے میری ابتدائی نشوونما میں سے ایک سب سے اہم احساس یہ تھا کہ پوائنٹس کی ترتیب اور افعال کی ترتیب کے درمیان کوئی حقیقی فرق نہیں تھا: بالکل اسی طرح کے دلائل دونوں پر لاگو ہوتے ہیں ، کیونکہ ہم محتاط رہتے تھے کہ ہر چیز کی تجریدی طور پر وضاحت کی جائے ، تاکہ یہ صرف ایک چیز پر لاگو نہیں ہوا۔ اس سے آپ کو پتھر – وئیرسٹراس تھیوریئم جیسے نتائج کو ثابت کرنے کی سہولت ملتی ہے ، جو آپ کو بتاتا ہے کہ بند وقفہ پر کسی بھی مستقل فعل کو کسی متعدد کے ذریعہ منمانے انداز میں لگایا جاسکتا ہے ("قریب قریب" کی سخت تعریف کے لئے)۔


جواب 2:

ایک کیلکولس الگورتھم کا ایک نظام ہے ، اور آپ کے مخصوص "کیلکولس" کورس میں ، جس کے معنی میں "متفاوت کیلکلوس" اور "لازمی کیلکولس" ہیں ، اس پر زور اخذ کرنے والے اور انٹیگرلز کا حساب لگانا سیکھنے پر ہے۔ کچھ چیزوں کو ثابت کرنے کے لئے کچھ کوششیں کی جاتی ہیں ، لیکن عملی طور پر شاید ہی کوئی شخص بنیادی ٹاپولوجیکل تصورات کو اپنی گرفت میں لے لیتا ہے ، اور اس موضوع کی لکیری الجبری بنیادوں کو بڑی حد تک نظرانداز کیا جاتا ہے۔ ایک مثال کے طور پر ، آپ ضمیر امتیازی سلوک سیکھتے ہیں ، لیکن آپ اس تکنیک کا جواز پیش کرنے والے متضاد فنکشن کو نہیں سیکھتے ہیں۔

ایک اعلی درجے کے کیلکولیس کورس حلقے ، جو میٹرک ٹوپولاجی اور لکیری قریب کی بنیادوں کے ساتھ ساتھ کچھ ابتدائی کورسز سے گمشدہ ثبوتوں کو پُر کرنے کی وضاحت لانے کی کوشش کرتے ہیں۔

بعض اوقات اعلی درجے کی کیلکولس کو حقیقی تجزیہ کہا جاتا ہے ، لیکن میں ذاتی طور پر اس کو کسی ایسے کورس کے عنوان کے طور پر استعمال کروں گا جو کہ بینچ کی جگہ کے تناظر میں تفرقی کیلکولیس کرتا ہے ، اور (کم از کم) لیبسگ انضمام کا تعارف کراتا ہے۔


جواب 3:

اس کے بارے میں سوچنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ کلکلیوس یوکیلیڈین خالی جگہوں میں سیٹ پوائنٹس کے مابین تعلقات کا مطالعہ کرنے کے لئے افعال استعمال کرتی ہے۔ فنکشنز وہ اوزار ہیں جو کیلکلیوس میں یکیلیڈین خالی جگہوں میں نکات کے سیٹ کے مابین تعلقات کے تصور کا مطالعہ کرنے کے لئے استعمال ہوتے ہیں۔

تبصرے کی بنیاد پر ترمیم کریں:

اصلی تجزیہ ان خالی جگہوں پر پوائنٹس کے خلاصہ سیٹ کے مابین تعلقات کا مطالعہ کرنے کے لئے افعال کا استعمال کرتا ہے جن میں حقیقی فاصلے کا فاصلہ ہوتا ہے۔ اصلی تجزیہ میں افعال وہ ٹولس ہیں جو خالی جگہوں کے ایسے تجریدی سیٹوں کے مابین تعلقات کے تصور کا مطالعہ کرنے کے لئے استعمال ہوتے ہیں جن میں حقیقی فاصلے کا فاصلہ ہوتا ہے۔

فنکشنل تجزیہ آپریٹرز کو افعال کے مابین تعلقات کا مطالعہ کرنے کے لئے استعمال کرتا ہے۔ آپریٹرز فنکشنل تجزیہ میں ٹولز کے سیٹوں کے مابین تعلقات کے تصور کا مطالعہ کرنے کے لئے استعمال ہونے والے ٹولز ہیں۔