کسی سیٹ کے اندرونی اور متعلقہ داخلہ کے درمیان کیا فرق ہے؟


جواب 1:

کسی سیٹ کا رشتہ دار داخلہ

CC

،

ri(C)ri (C)

، داخلہ کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے

CC

سب سے چھوٹی ایفائن سیٹ پر مشتمل ہے جس پر مشتمل ہے

CC

. اس طرح اگر

CC

یہ ایک affine سیٹ ہے جو تعریف کے لحاظ سے نسبتا کھلا ہے۔ ایک منسلک سیٹ ہمیشہ بند رہتا ہے ، کیونکہ اس کو ہائپرپلیٹوں کی ایک محدود تعداد کے چوراہے کے طور پر ظاہر کیا جاسکتا ہے۔

دو مختلف تعریفوں کے ذریعہ ، میں آپ کا مطلب فرض کر رہا ہوں کہ ہمیں داخلہ (انٹ) کے ساتھ ساتھ نسبتا interior داخلہ کے خیال کی ضرورت کیوں ہے۔ جس طرح سے میں فرق کو استعمال کرتا ہوں ، وہ یہ ہے کہ اگر ایکس

C \in C

داخلہ کا ایک نقطہ ہے ، پھر ایک "چھوٹا" محلہ مکمل طور پر اندر ہے

CC

. دوسری طرف اگر

xx

میں ایک نقطہ ہے

ri(C)ri (C)

، کسی پر مشتمل کسی بھی لائن کے ساتھ ایک چھوٹی سی رقم منتقل کرسکتا ہے

xx

andanyotherpointinyin[math]C[/math]andstillbewithin[math]C[/math].Note,thatthelineisanaffinecombinationof[math]x[/math]and[math]y[/math],andnotaconvexcombination,soonecanmoveawayfromthelinesegment"between"[math]x[/math]and[math]y[/math]andstillbein[math]C[/math].Thusinrelativeinterior,oneisrestrictedinthedirectiononecanmoveandstillbein[math]C[/math],unlikeforaninteriorpoint,whereallyoucareaboutisthatanopensetcontaining[math]x[/math]iscontainedin[math]C[/math]. and any other point in y in [math]C[/math] and still be within [math]C[/math]. Note, that the line is an affine combination of [math]x[/math] and [math]y[/math], and not a convex combination, so one can move away from the line segment "between" [math]x[/math] and [math]y[/math] and still be in [math]C[/math]. Thus in relative interior, one is restricted in the direction one can move and still be in [math]C[/math], unlike for an interior point, where all you care about is that an open set containing [math]x[/math] is contained in [math]C[/math].

اگر

CC

ایک میٹر جہتی محدب سیٹ ہے

RmR^m

، پھر چونکہ اس پر مشتمل سب سے چھوٹی پیاری سیٹ

CC

ہے

RmR^m

، ایک اندرونی اور رشتہ دار داخلہ کے تصور سے ملتے ہیں. اگر آپ اپنی پریشانی کو اس معاملے میں کم کرسکتے ہیں تو یہ آپ کے ثبوتوں کو آسان بنا دیتا ہے۔

داخلہ کے بارے میں آپ کی بیشتر بصیرت ، مندرجہ ذیل کے علاوہ ، نسبتا داخلہ پر جاتی ہے۔ اگر

AA

کا ایک ذیلی سیٹ ہے

BB

پھر

ri(A)ri(A)

کا سبسیٹ بننے کی ضرورت نہیں ہے

ri(B)ri(B)

، جبکہ انٹ

AA

isasubsetofintBinthiscase. is a subset of int B in this case.

داخلہ اور متعلقہ داخلہ کے درمیان ایک اور فرق مندرجہ ذیل ہے۔ اگر دو محدب سیٹ میں ایک ہی بندش ہوتی ہے تو ، پھر ان کے رشتہ دار اندرونی موافق رہتے ہیں۔ یہ ایک نقطہ سے رابطہ قائم کرنے کے قابل ہونے کا نتیجہ ہے

xri(C)x \in ri(C)

ایک نقطہ پر

ycl(C)y \in cl(C)

(کی بندش)

CC

) ایک لائن طبقہ جس میں مکمل طور پر شامل ہو

ri(C)ri(C)

. واضح طور پر ، غیر محدق سیٹ میں اس حالت کی آسانی سے خلاف ورزی کی جاسکتی ہے۔ اس طرح یہ ہے کہ دو غیر محدب سیٹوں میں ایک ہی بندش ہے ، ہم یہ نتیجہ اخذ نہیں کر سکتے کہ ان کے پاس ایک ہی داخلہ ہونا ضروری ہے۔