ریمن انٹیگر اور ریمان اسٹیلٹجس انٹیگر کے درمیان کیا فرق ہے؟


جواب 1:

ریمن انٹیگر اور ریمان اسٹیلٹجس انٹیگر کے درمیان کیا فرق ہے؟

ریمان اسٹیلٹجس لازمی ایک اور فنکشن کے سلسلے میں ہے ، لہذا اس کی بجائے

abf(x)dx\int_a^b{f(x)dx}

یہ ہے

abf(x)dG(x)\int_a^b{f(x)dG(x)}

. اگر

GG

مشتق کے ساتھ فرق ہے

gg

، پھر لازمی ہوجاتا ہے

abf(x)g(x)dx\int_a^b{f(x)g(x)dx}

. اب تک اس کا انضمام کی ریمان کی تعریف سے کوئی تعلق نہیں ہے۔ کوئی ایک مختلف نقطہ نظر (جیسے لیبسگیو لازمی) کا استعمال کرتے ہوئے انٹیگرل کی وضاحت کرسکتا ہے۔

کیا اگر

GG

فرق نہیں ہے؟ آئیے ایک مثال لیتے ہیں ،

G(x)=xG(x) = x

اگر

x<2x < 2

اور

G(x)=x+1G(x) = x+1

اگر

x2x \ge 2

.Ifthedomainoftheintegralincludesthepointx=2,theStieltjesintegralwillbetheordinaryintegralplusacontributionduetothejump.. If the domain of the integral includes the point x = 2, the Stieltjes integral will be the ordinary integral plus a contribution due to the jump.

ریمن اسٹیلٹجس لازمی کام اسی طرح کیا جاتا ہے۔ ڈومین کو حصiteوں کی ایک محدود تعداد میں تقسیم کریں۔ اندازہ

f(x)f(x)

ہر وقفہ کے ایک موقع پر تبدیلی میں ضرب

G(x)G(x)

اس وقفہ پر اور شامل کریں. پھر حد کو لے کیونکہ سب سے طویل ذیلی دور کی لمبائی صفر ہوجاتی ہے۔ آپ دیکھیں گے کہ چھلانگ قدر کی قیمت کے مساوی شراکت کو جنم دیتے ہیں

f(x)f(x)

چھلانگ میں اچھال کے سائز سے کئی گنا بڑھ گیا

G(x)G(x)

. اگر

f(x)f(x)

isnotcontinuousorthediscontinuityinGisnotsimplyajumpthesituationisslightlymorecomplicated.UsethedefinitionbasedonDarbouxsumsinstead,oruseaLebesgueStieltjesintegral(whichisaLebesgueintegralwithrespecttoadifferentmeasure). is not continuous or the discontinuity in G is not simply a jump the situation is slightly more complicated. Use the definition based on Darboux sums instead, or use a Lebesgue Stieltjes integral (which is a Lebesgue integral with respect to a different measure).